Matematik
Ünlü matematikçi Pascal’ın hayatı hep ilginç gelmiştir bana. Üstün yetenekli bir matematikçi ve aynı zamanda bir geometri üstadı olmasına rağmen, dini tutkularının yaşamına egemen olmasına engel olamamış bir insandır o. Biraz hayatından bahsetmek gerekirse, hayata harika çocuk olarak başlamıştı. Öyle ki daha 10’lu yaşlarının başında günlük hesapları tutmada babasına yardımcı olabilmek için bir hesap makinesi icat etmiş ve patentini almıştı. Babasının da yardımıyla, yaptığı faaliyetler Paris Bilimler Akademisi ve Londra Kraliyet Akademisi’nin temelini oluşturan Rahip Mersenne ile tanıştı. Bu sayede bir çok ünlü matematikçiyle tanışma fırsatı yakaladı. Bana göre hayatındaki ilk dönüm noktası, babasının düşerek kalça kemiğini kırmasıydı. Babasının düşüşünün bu kadar önemli olmasının arkasında yatan sebep, babasını iyileştirmek için gelen kırık çıkıkçıların Jansenciler denilen katolik tarikatının üyesi olmalarıydı. Bu insanlar mutluluğun tek yolunun acıdan geçtiğine inanan insanlardı. Onlara göre önemli olan yalnızca imandı, akıl kurtarıcıya giden yolu tıkardı. Bugün bile bu görüşe inanan sayısının aşırılığını düşününce, yadırgamanın anlamsızlığı çıkıyor ortaya. Jansenciler Pascal üzerinde önemli bir etki bıraktılar. Eskiden peşinde olduğu zevklerin yanında, matematiği ve bilimi de terk etmişti artık. ”Beni buraya kim yerleştirdi?” , ”Burada olma sebebim ne?” gibi üzerinde düşünüldüğü zaman hiç bir sonuca ulaşılamayan sorular sordu kendine. Ama ne yazık ki , henüz 27 yaşındayken bu sorular onu kısmi felce sürükledi. Doktorlar tedavi olarak, eski yaşamına dönmesini önerdiler. Pascal bu öneriyi uygulamaya koymak hiç zaman kaybetmedi. Eskiden düşkün olduğu şeylerin daha da müptelası oldu, Paris kumar masalarının müdavimi haline geldi.
Pascal’ın hayatından bahsederken Şövalye De Mere’den bahsetmemek olmaz. De Mere, usta bir matematikçi olmasının yanında, keskin zekalı bir kumarbazdı da. Şövalye De Mere’in olasılıklar konusunda iç güdülerine güvenmesi ve bu konuda çoğu zaman başarılı olması onun keskin zekasının en önemli kanıtı belki de. De Mere’in en önemli kumar stratejisi her zaman kendisinin kazanma şansı çok az olan, rakiplerinin tesadüf olarak gördüğü sonuçlar üzerine bahse girmesiydi. Girdiği bahislerden örnek vermek gerekirse, 4 kez ardarda zar atacağımızı düşünün. Bu zarlardan herhangi biri 6 geldiğinde ben kazanacağım, diğer tüm durumlarda siz kazanacaksınız. Sizin için karlı bir bahis gibi görünsede, aslında öyle değil. Bu 4 atış sonunda benim kazanma olasılığımı hesaplamak istesek yaklaşık %52 olarak buluruz. Bugünün şartlarında bu hesabı yapmak pek zor olmasa da, 1600’lü yıllarda ciddi bir problem olduğunu söylemeliyim. İşte De Mere bu gibi problemlerin kesin sonuçlarını bilmiyor olmasına rağmen, bunların üzerine bahise girebilecek matematiksel içgüdülere sahipti. Pascal, De Mere ile ilk karşılaştığında, De Mere bir grup Fransız matematikçiyle, Paccioli’nin puan problemini tartışıyordu. Paccioli’nin puan problemi, iki oyuncunun balla oynarken oyunu bırakması durumunda, paranın adil olarak nasıl paylaştırılması gerektiği, üzerine kuruluydu. Pascal problemi duyar duymaz büyülenmişti. Ancak problemi tek başına çözmeye de gönülsüzdü. Rahip Mersenne’nin de tavsiyesiyle Toulouse’lu avukat Pierre De Fermat’la temasa geçti. Pascal, belki de puan problemini çözmek konusunda kendisine yardımcı olabilecek en uygun kişiyi bulmuştu. Fermat’nın bilgisi muazzamdı. Ender iyi matematikçilerden olan fermat, analitik geometriyi tek başına geliştirmiş, calculus’un gelişme aşamasına katkıda bulunmuş, dünyanın ağırlığını araştırmış, ışığın kırılması ve optik üzerine çalışmıştı.
Puan problemine tekrar dönecek olursak, problemin çözümü, oyun yarıda bırakıldığında önde olan oyuncunun, devam etmesi halinde daha fazla kazanma olasılığı bulunduğunun kabul edilmesiyle başlar. Ancak öndeki oyuncunun şansının ne kadar fazla olduğu ya da gerideki oyuncunun şansının ne kadar az olduğu başlı başına sorundur. Pascal ve Fermat’nın konuyla ilgili yazışmaları olasılık teorisinde tarihi bir olaydır. İkisi de probleme farklı noktalardan yaklaşmış, Fermat saf cebir kullanırken, Pascal daha yenilikçi davranıp geometrik bir yapıyı ortaya koymuştu. Bu geometrik cebirin arkasındaki matematiksel esas, çok önceleri Ömer Hayyam tarafından düşünülmüş olsa da, konunun düzenlenmesi Pascal’a aittir.
Pascal üçgenine şöyle bir baktığımızda, daha ilk anda bir çok kalıp gözümüze çarpar. Ancak temeldeki yapı çok basittir: Her sayı, bir üst sırada, sağında ve solunda yer alan iki sayının toplamına eşittir. Şimdi Paccioli’nin problemini birazcık daha günümüze uyarlayalım ve Pascal üçgenin yardımıyla çözmeye çalışalım. Şimdi 7 maç üzerinden oynanan Boston Celtics-LA Lakers NBA final serisini düşünelim. Boston Celtics’in ilk maçı kaybettikten sonra, NBA şampiyonu olma olasılığı nedir? Şans oyunlarında olduğu gibi, iki takımın da kazanma olasılığının eşit olduğunu varsayarsak, bu problem puan problemiyle birebir örtüşmektedir. NBA şampiyonu kalan 6 maçta belirlenecek olduğundan, toplamı 26 satıra bakmamız gerekir. Bu satırdaki dizilim görüldüğü üzere 1 6 15 20 15 6 1 şeklindedir. Boston’un kupayı alması için 4 maç gerekirken, Lakers’ın kupayı alması için 3 maç yeterlidir. Boston’un bütün maçları kazanması için tek bir yol vardır: Lakers bütün maçları kaybederken, Boston hepsini birden kazanacak; dizilimin başındaki 1 işte bunu ifade etmektedir. Devam ettiğimizde, sonraki sayı 6’dır. Lakers yalnızca 1 maç daha kazanırken, Boston ‘un kupayı almasının altı değişik sonuç sıralaması vardır; LBBBBB, BLBBBB, BBLBBB, BBBLBB, BBBBLB, BBBBBL. Boston’un 4, Lakers’ın iki maç kazanması ise toplam 15 farklı sonuçla gerçekleşir. Diğer bütün kombinasyonlar Lakers’ın en azından 3 maçı kazandığı, yada başka bir deyişle Boston’un 4 galibiyetin altında kaldığı sonuçları gösterir. Bunun anlamı 1+6+15=22 Boston’un ilk maçı kaybettikten sonra kupayı alabileceği kombinasyon sayısını belirtirken, 42 kombinasyon ise Lakers’ın şampiyon olacağını gösterir. Yani sonuç olarak, Lakers üç maç kazanmadan önce, Boston’un geriden gelerek dört maç kazanma olasılığı 22/64 olarak bulunur. Bu sonuçtan anlaşılacağı üzere, Pascal ve Fermat’nın arasındaki yazışmalar olasılık teorisinin temelleridir.
Pascal ve Fermat arasındaki yazışmalar, Pascal’ın bir tür mistik deneyim yaşaması sonucu son bulmuştu. Bu mistik deneyim, beklenen değer teorisini kullanarak hayatını dine adaması gerektiği sonucuna ulaşmasıyla gerçekleşti. İnsanın hayatını bu yolla dine adaması oldukça ilginç olsa da onun gayet mantıklı bir sebebi vardı. Her matematikçi gibi , öncelikle soruyu formüle indirgedi ve kendisine fiziksel yaşamdan zevk almanın mı yoksa dini hayatın mı daha büyük olduğunu sordu. Daha sonra ölümden sonra hayatın olmama olasılığı ile fiziksel yaşamdan alınabilecek zevkin olasılığını çarptı, aynı zamanda ölümden sonra hayatın olma olasılığı ile fiziksel yaşamın getirdiği sonsuza dek lanetlenmenin olasılığını çarptı ve bulduğu iki sonucu topladı. Bunun sonucuna fiziksel yaşam dedi. Dini hayatı ise, ölümden sonra hayatın olmama olasılığı ile dinden alınacak zevkin olasılığını çarpıp, aynı zamanda ölümden sonra hayatın olma olasılığı ile sonsuz mutluluğun olasılığını çarpıp, iki sonucu toplayarak buldu. İşte bu formüllerde fiziksel yaşam, dini hayattan daha büyükse şimdiki hayatına devam edecek, eğer küçükse dindar olacaktı. Bu formülleri hesaplayabilmek için ise bir kaç varsayımda bulundu. Sonsuz mutluluğun değerini pozitif sonsuz olarak kabul ederken, sonsuza dek lanetlenmenin değerini de negatif sonsuz olarak kabul etti. İşte bu iki varsayım sonucu, fiziksel yaşamın beklenen değeri negatif sonsuz çıkarken, dini hayatın beklenen değeri pozitif sonsuz çıktı. Pascal bu sonucu anladığı an, hayatının geri kalanını dine adaması gerektiğini anladı. Eminim siz de farkettiniz yaptığı iki varsayım hayatını tamamen değiştirmiş efsane matematikçinin.
Umarım size de ilginç gelmiştir artık Pascal’ın hayatı. Sürekli iniş çıkışların olduğu, uçlarda gezinerek yaşanan bir hayat onunkisi. İnsan düşünmeden edemiyor, varsayımlarını dünyada tadabileceği bütün zevkleri pozitif sonsuz, dini bir hayatı ise negatif sonsuz olarak yapsaydı, neler değişirdi hayatımızda.Bu soruya muzur bir gülümsemeyle cevap veriyorum :D
Yorum Gönder